这里记录了一些 c7w 在学习微积分的过程中认为比较重要的补充内容。本文首先介绍了三角函数的任意整数幂次的不定积分的求法,然后给出了三角函数定积分的 Wallis 公式,最后给出了在多元微积分中常见的一些参数曲线的图像。

三角函数的正整数幂的不定积分

Knowledge Base

  • 换元法(凑微分法)
  • 分部积分法

关于三角函数的幂的积分

sin 或 cos 的幂

若指数中存在奇数:

  1. 选定 cos 与 sin 中次幂较低,且为奇数的一个,使用凑微分法
  2. 使用公式 $sin^2x+cos^2x=1$ 替换掉剩下的项

Solve:

若指数中不存在奇数:

  1. 使用二倍角公式
  2. 展开后分别积分

Solve:

$\quad \int \cos ^{2} x \sin ^{4} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} \frac{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}}{4} d x$
$=\frac{1}{8} \int\left(\cos ^{2} 2 x-2 \cos 2 x+1\right)(1+\cos 2 x) d x$
$=\frac{1}{8} \int\left(\cos ^{3} 2 x-\cos ^{2} 2 x-\cos 2 x+1\right) d x$
$=\frac{1}{8} \int \cos ^{3} 2 x d x-\frac{1}{8} \int \cos ^{2} 2 x d x-\frac{1}{8} \int \cos 2 x d x+\frac{1}{8} \int d x$
$=\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \int \cos ^{2} 2x d \sin 2 x-\frac{1}{8} \int \frac{1+\cos 4 x}{2} d x-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{8} x+C
$

$=\frac{1}{16} \int d \sin 2 x-\frac{1}{16} \int \sin ^{2} 2 x d \sin 2 x-\frac{1}{16} x-\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} \sin 4 x-\frac{1}{16} \sin 2 x+\frac{1}{8} x+C$

$=\frac{x}{16}-\frac{\sin^32x}{48}-\frac{\sin4x}{64}+C$

tan 与 cot 的幂

使用公式 $ \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 $

Solve:

cot 的幂读者自证不难.

sec 与 csc 的幂

因此我们有:

csc 的幂同理显然.

Wallis 公式

一些参数方程/极坐标下的曲线图像

星形线

摆线

图为$-4\pi \le t \le 4\pi, a=1$的图像.

周期为$2\pi$.

双纽线

r4VeSK.png

笛卡尔心形线

r4ZSht.png

其它曲线

r4ZeNn.png

r4Zu90.png

r4ZK3V.png

r4ZMcT.png

Reference