本文为 c7w 在学习《线性代数》课程中时遇到的一些补充内容。具体来说，本文介绍了合同矩阵与相似矩阵的定义。

合同矩阵

定义

称两矩阵$A,B$合同，当且仅当存在可逆矩阵$C$，使得

性质

  1. 合同关系是等价关系.
  • 自反性: $A$与$A$本身合同
  • 对称性: $A$合同于$B$, 则$B$合同于$A$
  • 传递性: $A$合同于$B$, $B$合同于$C$, 则$A$合同于$C$.
  1. 合同矩阵的秩相同。

相似矩阵

定义

称两矩阵$A,B$相似，当且仅当存在可逆矩阵$C$，使得

性质

  1. 相似关系是等价关系.
  • 自反性: $A$与$A$本身相似
  • 对称性: $A$相似于$B$, 则$B$相似于$A$
  • 传递性: $A$相似于$B$, $B$相似于$C$, 则$A$相似于$C$.
  1. 相似矩阵具有一系列相同的特点.
  • 两者的秩相等；
  • 两者的行列式值相等；
  • 两者的迹相等；
  • 两者拥有同样的特征值，但相应的特征向量一般不同；
  • 两者拥有同样的特征多项式；
    （我们可以利用这些必要条件来判断两个矩阵是否相似）
  1. 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。